大数学家
阿基米德深深地感到悲哀，自己的祖国比被揪着头发拍卖的奴隶的处境好多少呢？科农老人说得对，叙拉古不能幻想罗马人的保护，倒是要提防他们的骚扰。他们造出“乌鸦座”吊桥，不就是为了行凶逞强、掠夺侵略吗？叙拉古必须有自卫的准备。可是希伦王和他的大臣们正沉溺在权力和享乐之中，叙拉古的前途实在令人忧虑。
科农的话引起阿基米德一阵叹息，他久久沉默不语。他联想到大哲学家苏格拉底（前469-前399），因为政见不同为统治者所不容，被迫在狱中服毒自杀。科学家常常天真地想逃离政治，搞纯粹的学术研究。可是，他们什么时候脱离过现实的政治社会而生活在真空中呢？
只是把前人的成果接受下来还不够，阿基米德明白，更重要的是创造。
中国政治家诸葛亮有一句名言：“非宁静无以致远。”意思是只有宁静的心情和环境，才能使思想深邃，目光远大。笛卡儿也不止一次说过：“我只要安静和休息。”可惜和他的愿望相反，笛卡儿的身体和脑子一样，没有一刻停息。圣·马丁节前夕的三个梦，启示他坐标几何的基本思想，不过他并不急于整理发表。他渴望投身到生活的海洋中去体会人生的意义。
不是那里的气候更适宜于他的思考，只因为荷兰社会相对安定，资产阶级的影响比较大，是当时欧洲唯一具有思想自由的国家。在历史上，提倡唯物主义的英国哲学家霍布斯的书只能在荷兰自由刊印；洛克为了逃避保皇党的迫害，来到荷兰避难。荷兰哲学家斯宾诺莎要不是在荷兰，恐怕就难以著书立说。笛卡儿的著作也几乎都是在荷兰完成的。
把“数”和“形”紧密联系在一起的坐标几何，成为一把锋利无比的双刃刀。几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数达到；反过来代数语言有了几何的解释，可以直观地掌握这些语言的意义，从中得到启发去提出新的结论。从此以后，数学就以前所未有的速度趋向完善。可以说，17世纪以来数学的巨大进展，在很大程度上要归功于坐标几何的创立。
一个重要原因是，笛卡儿把《几何学》写得十分难懂。虽然为了便于人们阅读，他用法文而不用学术界惯用的拉丁文来写作，但是他故意搞了许多含糊不清的地方，为的是让“欧洲几乎没有一个数学家看得懂他的著作”！他解释说：“对于那些自命为无所不知的人，我如果写得使他们能充分理解，他们就会说，我所写的都是他们已经知道的东西。”作图法和证明都写得极为简略。他把自己比作建筑师，只制定计划，指出该做哪些工作，而把手工操作留给木工和泥瓦匠。他说，这样做也是为了不剥夺读者自己进行探索的乐趣。他在书中给出许多例题，但是删去多数定理的证明。他认为只要仔细考查这些例题，定理就不难证明。他强调说，这样来学习，效果更好。
笛卡儿当时是誉满全球的大学者；帕斯卡比他年轻近30岁，但是在科学界也已经头角崭露，蜚声遐迩。他们两人从数学、物理、文学，一直讨论到哲学。临别的时候笛卡儿还真挚地给这位年轻朋友提出不少忠告。他劝帕斯卡学他的样子，每天躺到上午11点钟起床；对于时时给帕斯卡带来烦恼的胃，笛卡儿建议他只喝肉汤，不要吃别的食物。可惜这些健身之道听起来近乎怪诞，帕斯卡没有重视。
人们关于貌似简单的正整数研究虽然已有很长的历史，但是对它们的认识还很不够。一些长期未解决的问题往往乍看不难，实际上却极难解决。为了证明一个有关正整数的命题，数学家往往不得不先发掘代数和分析中许多微妙而深奥的定理，甚至建立全新的数学概念和普遍有效的数学方法。结果新兴的庞大的分支和如林的数学定理掩盖了它们发端的原始问题。这些导源于“朴素的”算术问题的新数学常常同物理世界有密切的联系，并且可以应用在数学的其他领域，特别是计算数学。
数论上有的定理被认为是“重要的”，而有的定理好不容易才证明出来，却被认为是“无关紧要”的。这是为什么？要说明其中的道理并不容易。首先一个标准，当然不是绝对的，是它可以应用于数学的其他分支；其次是它对数论或别的数学研究有启发作用；第三，它本身在某些方面具有普遍性。费马小定理适合所有这些要求，它对许多数学分支，包括群论[28]在内，是一个不可缺少的结论。它启发了许多重要的数学研究，甚至是某些研究的直接起因。由于它是对任意的整数和素数来说的，所以有很大的普遍性。显然，这样普遍的定理，要发现它是极不容易的，也是非常罕见的。
方程y3＝x2＋2是一个不定方程，因为未知数有两个，而方程只有一个。如果不限制方程的解必须为整数，解这类方程没有任何困难。任意给出x一个值，y就是x2＋2的立方根，所以方程的解有无限多个。丢番图首先提出求这种不定方程的整数解或有理数解，于是问题就不同于以前而变得非常困难了。费马说他证明了上述方程只有唯一的整数解，可是没有公布他的证明。他去世后不久，人们找到了他的证明。科学史研究证实，在1994年以前除了唯一的一个例外，凡是被费马肯定过的命题，都被正确地证明了。那仅有的例外就是赫赫有名的“费马大定理”。
这桩历史悬案的真相究竟如何，读者可以作出自己的判断。但是，令人高兴的是：英国数学家安德鲁·维尔斯经过9年顽强拼搏，终于在1994年证明了费马大定理。他证明费马大定理的论文《模曲线和费马大定理》于1994年10月14日送交普林斯顿的《数学年刊》。而在此一周前，他和他的学生泰勒的合作论文《海克代数的环论性质》已经寄去审查，这是证明上述定理不可缺少的工具。1995年5月《数学年刊》一同发表了这两篇论文，从而宣布困扰数学界350多年的费马大定理已被一举攻克。维尔斯的证明运用了20世纪代数几何与代数数论一系列研究成果，显示了现代数学整体的巨大力量。
的确是这样。概率论深入到各个领域，连日常生活中最简单的问题，比如称一个物体的重量，也离不开它。虽然物体的重量是确定的客观存在，可是它真实的数值你却称不出来。我们到商店去买500克糖，实际得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也无法称出丝毫不差的500克。当我们用某一种仪器对它进行多次测量的时候，任意两次的测量结果往往是不相同的。但是根据概率统计的理论，由各次测量结果可以推算，真实的重量落在某一个数值范围内的可能性有多大。
“顺便谈到数学，我觉得它是对思维的最高锻炼；但同时我又觉得它是那么无用，以致使我感到一个单纯的数学家同一个普通工匠的差别极小。我承认它是世界上最可爱的职业，然而仅仅是一种职业。我也常说，想学数学是件好事，但为此费力则不然，所以我不愿为数学多走两步。我想你也会有同感。”
这真是“振聋发聩”的一问，牛顿懂得了，不了解作用原理的工匠，也不是好工匠。他开始以特有的顽强钻研精神，向书本知识进攻，牛顿的学习成绩很快有了显著的进步。
开始一段时期，牛顿似乎没有突出的表现。数学主要靠自己研究。头两年除了算术、代数外他还认真学习了欧几里得的《几何原本》，领略到它的优美和严密；后来他精读笛卡儿的《几何学》，认识到代数的重要作用，掌握了坐标法。在学习中，牛顿解答了大量习题。对于各式各样的数学问题，有的学生怕难，有的学生嫌烦，有的学生觉得枯燥无味。牛顿却认真演算，深入思考，颇有心得，觉得其乐无穷。这些基本数学训练极大地锻炼了牛顿分析思考的能力，为以后的科学研究打下坚实的基础。
本来，科学家之间不同学术观点的探讨是正常的，也是必要的。然而，不能指望科学家都是富于理智、涵养很好、品学兼优的圣贤，他们之中除了脾气古怪者外，心胸狭窄乃至品行低下的人也是有的。这样，在学术争论中，虚荣心和名利欲，这些人类可悲的弱点，在科学家身上发作，就会表现出意气用事、作风骄横等等，使学术观点之争变得复杂起来。
为了使不熟悉他的流数法的读者能够看懂全书的中心主题——宇宙间运动的和谐，也为了避免因为流数法可能招来的非议，他决定采用经典的几何方法。不过，在几何证明中，他还是利用了微积分中极限的概念。物理学发展历史证实，特定的物理世界总有它一定的数学结构，形式可以多种，概念实质一样。牛顿一向十分欣赏惠更斯的几何论证的优美巧妙，他要使自己的作品同它媲美。
欧拉是历史上最多产的数学家。多产的法国数学家柯西的全集有26卷；德国数学家高斯的全集有12卷；而欧拉一生创作了886篇论著，他的全集有74卷之多。如果考虑到他生命的最后17年双目已经完全失明，就更令人惊叹不止了。人们可以在所有数学分支中见到他的光辉名字：欧拉公式，欧拉函数，欧拉方程，欧拉多项式，欧拉常数，欧拉积分，欧拉线……即使在初等数学中也不例外，那里的不少重要概念和定理正是这位大师的杰作。发现立体几何中有名的欧拉定理和建立起今天三角学科学体系的就是这位大名鼎鼎的欧拉。不仅如此，在数学以外的许多学科还有一大串以他命名的专门术语来纪念他的卓越贡献，欧拉运动学方程，欧拉流体动力学方程，欧拉力，欧拉角，欧拉坐标，欧拉相关，等等。他那博大精深的学识和无穷无尽的创造精力永远是人们敬慕的对象。
从某种意义上说，欧拉的处女作是他全部工作的缩影。它既显示出欧拉的力量，也暴露了他的弱点。欧拉的力量在于分析，他是分析学精妙绝伦的大师，又是顶呱呱的方法发明家和运算的巨匠。分析的武器一到他的手中真可谓坚无不摧，攻无不克。欧拉的弱点，如果有的话，就在于有的地方和实践脱节。倘若我们记得瑞士根本不存在海军，那么对他的弱点也就不会过分惊奇。他在瑞士的湖泊里只见过不多的几艘划桨的小船，还没有见过真正的海船呢！
欧拉夫妇先后生育的子女达13个之多，堪与欧拉在科学上的多产相媲美。不过孩子也有好处。天伦之乐洗净他一天工作的疲劳，也使他暂时忘却彼得堡街道上的血雨腥风。欧拉是位慈祥而称职的父亲，他为子女的教育付出大量心血。每到晚上，孩子们围坐一圈，由欧拉亲自布置和检查他们的作业，解答他们的问题。他还编了许多数学趣题启发他们的思考。下面
有人说，数学家应该是诗人，这句话有点道理。数学家不是干巴巴的“计算机器”，只知道和各种“枯燥无味”的数学符号打交道。从历史上看，几乎一切的大数学家，像笛卡儿、费马、牛顿、莱布尼兹，以至后来的欧拉、高斯、柯西、罗巴切夫斯基等，他们对文学、对古代语言无不具有强烈的爱好和极高的修养。我国的华罗庚、苏步青等著名数学家也有许多诗文佳作，在文学上有相当的造诣。这显然不是偶然的巧合。因为一个好的数学家，不但要有机敏精细的头脑，还需要有诗人般的想象力。
在和老朋友通信的时候，拉格朗日的意见是直率的，可是在科学院的正式报告中，他对别人科学工作的评价总是十分宽厚。在生活上，他从来不触犯别人，哪怕这种触犯有正当的理由。他置身于社交活动之外，埋头于自己的研究，直到同事们对他的存在感到习惯。温文尔雅的青年主任渐渐博得同事的喜爱和尊敬。作为对这位不爱抛头露面的青年数学家破格的优待，科学院同意他的论文可以不在大会上亲自宣读。
为了得到急需的铜和锡，共和国号召群众，把教堂的钟和家里的时钟捐献出来。全国成了一座巨大的军火工厂，而蒙日是整个活动的指挥。他白天到工厂视察，解决难题，晚上撰写指导各地生产的简报，他的《大炮的生产艺术》等有关论著成了工厂技术人员必读的手册。
真诚的蒙日哪里想到，野心勃勃的拿破仑正是利用群众的这种心理，接过革命的口号，用“不断的战争来代替不断的革命”，抓住一切机会攫取至高无上的权力。不到10年，拿破仑成了法国的独裁者；接着，他又极力想使自己成为欧洲的主宰。
对待傅里叶论文的态度反映出纯粹数学家和数学物理学家风格的不同。应该说，对推理严密性的要求是必要的，这是一个理论是不是完善的重要标志。但是，对新诞生的理论过于“吹毛求疵”，不但不能促使它完善，反而可能扼杀它的成长。实际上，拉格朗日曾经发现过傅里叶定理的特例，可是要得到普遍性的结果并且给予严密的论证，就不是那么容易了，正是这些困难使拉格朗日止步不前，纯粹数学家这种“保守”态度妨碍他们直接对科学的发现作出重大贡献。当然，他们提供的数学工具对科学家的发现是重要的，甚至是必不可少的。其实，纯粹数学家在数学研究中同样反对一味追求精确和严谨，提倡创造性的想象，也不排斥像伟大诗篇和音乐中所具有的那种“松散”。微积分诞生的时候，在理论上甚至自相矛盾，不能“自圆其说”，它的严密化经历了近200年的曲折过程。怪不得有人风趣地指出，当年牛顿和莱布尼兹要是知道他们在微积分理论中存在那么多漏洞，就绝不会把它拿出来发表了！正是在这个意义上，英国著名科学家开尔文爵士（1824-1907）不理会傅里叶的著作中明显缺乏严密性，称它为“伟大的数学诗篇”。
在埃及的经历使傅里叶相信，高温对身体有益，这种奇怪的念头促使他的死亡。他像木乃伊似的在自己身上裹上好几层布，并且在室内保持比撒哈拉沙漠更高的温度。1830年5月16日，他死于心脏病（有的说是动脉瘤），享年62岁。
《天体力学》中的数学说明十分简略，有时候显得相当笨拙。拉普拉斯只关心结果，不注意推导过程。为了使著作有一简洁的形式，避免冗长的数学证明，他往往略去一切，只留下结果，并且在结论前面加上一个叫人放心的短语：“容易看出”。实际上，对于读者，甚至对于作者本人，“容易”应该理解为“很难”。拉普拉斯自己承认，要重新推导这些结果并不容易。美国数学家兼天文学家鲍迪奇翻译了《天体力学》五卷本的四卷和附加的说明，他抱怨说：“只要一看到‘容易看出……’这句话，我就知道起码得花好几个小时的苦工夫才能填补这段空白。”
的确，拉普拉斯对数学往往表现出不耐烦，在他看来，数学只是一种手段而不是目的，它是人们为解决科学问题所必须精通的工具。十分
它们充分证明，拉普拉斯在文学上有同他在数学上几乎同样卓越的才能。一个不掌握数学专门知识的人，如果想了解概率论理论的意义和它的魅力，最好去读一读拉普拉斯《概率的哲学导论》一书中的出色的介绍。
“我研究数学，与其说是为了贪图虚名，不如说是出于爱好，”1777年他在给达朗贝尔的信中这样写道，“我最感兴趣的是研究发明家的进展，观察他们在解决所遇到的障碍时所表现出的才智。然后我把自己置于他们的地位，并问自己：我应该怎样来克服这同样的障碍？虽然这种替换在绝大多数情况下是使我出丑，不过，无论如何，分享他们成功的喜悦，充分补偿了我小小的丢丑。要是我运气好，能在他们的工作中增添一些东西，我总把自己的成绩归功于他们首创的努力，并且相信，如果他们处在我的位置，一定会走得比我更远。”
对于这样重要的定理，有一个证明还不能使他满足。他反复思考多年，先后给出6个不同的证明。今天我们知道的证明已经有50个左右。对某一定理给予各种不同的证明是高斯研究上的一大特点。他认为“绝不能以为”获得一个证明以后“研究便告结束，或把寻找另外的证明当做多余的奢侈品”。因为，“有时候，你一开始未能得到一个最简单、最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去。
他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，然后通过这个方程的整数解来确定哪些正多边形可以由尺规作出。这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里，高斯创造了把问题由一个领域（几何学）转移到另一个领域（代数学）来解决的第一个杰出的例子，高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了：使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，17，257，65537，……或者边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作正七、九、十一、十三或十九边形。因此对那些不可能用尺规作出的正多边形，人们就无须再虚掷时光。谁会想到抽象的费马数同几何竟有这样有趣的联系！根据这条线索，高斯最后成功地用尺规作出了正十七边形。这样，困扰了几何学家达2000多年之久的大难题终于由这位年仅19岁的德国青年给出完满的解答。如后图的正十七边形的完整作法只需要一页篇幅；正257边形的尺规作图就要占用80页纸张；而后来数学家盖尔美斯按照高斯方法作出的正65537边形的手稿要占据整整一只手提箱！这份手稿至今仍保存在格丁根大学的图书馆里。
这实在令人惋惜。从艺术形式来看，这样的数学瑰宝固然精美绝伦，可是，在数学研究中，思想和方法常常比由此发展而成的定理重要得多。一个杰出的思想可以引申到新的领域产生出意想不到的结果。现在，由于到达终点的所有足迹已经被抹掉，他的许多重要思想只有经过后继者另行发掘才得重见天日。正如雅可比所说：“高斯的证明被冻结得硬邦邦的，人们必须先把它融化开来。”他的不少伟大著作只有经过专家们的详尽解释才能为一般人所了解和接受。
自从拉格朗日以来，数学家的研究日趋专门化，因此，高斯研究领域的广阔就显得异常出众，无论是深奥的数论的抽象理论还是应用科学的实际运用，无论是数学新领域的开拓还是天文学的冗长计算，他都表现出惊人的才能。他在纯粹数学和应用数学上的不朽工作是数学史上辉煌灿烂的一页。他填补古典数学家遗留的许多重大空白，为现代数学家开辟意义深远的全新道路。他的选题基本上是古典的，而他的方法是属于现代的，因此他既是最后一位卓越的古典数学家，又是第一位伟大的现代数学家。
在报告会上，柯西第一次明确地指出这两种级数的本质区别，并且提出判别它们的准则。他的深刻论述成为数学分析严密化的一项重要内容。听着柯西精细入微的分析，拉普拉斯的额头不由得沁出汗珠。因为在《天体力学》中，拉普拉斯使用了大量无穷级数，他担心，由于忽视敛散性这个极端重要的因素，自己几十年辛苦建造起来的天体力学大厦可能毁于一旦。不等报告会结束，他惴惴不安地悄悄退场，赶忙回家，关起房门，对书中的级数，按柯西的方法一一加以检验！
拉格朗日曾经向老柯西建议，在17岁以前，不要让奥古斯丁接触高等数学，免得损害孩子的健康。所以，奥古斯丁在毕业以后，才在导师的指导下开始学习高等数学。拉格朗日的眼力果然不错，只用短短10个月的时间，小柯西就熟悉和掌握了数学中一切最困难问题的内容和技巧。
在柯西小小的背包里，装着他最心爱的几本书：拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《解析函数论》和维吉尔的诗集。它们再好不过地说明这位青年军事工程师的爱好、理想和追求。
争论似乎已经结束。可是，谁也没有想到，整整过了100年，荷兰数学家布劳威尔[78]在1912年成功地证明了：亚里士多德逻辑，例如排中律，在数学中的确不能不加限制地任意使用，特别在无限集合中更是这样。对神圣的亚里士多德逻辑的这个挑战，有人称它是现代的芝诺悖论，强烈地震动了数学界。它给数学基础的研究提出新的课题，有力地刺激着数学向着更深刻的方向发展。
同时，角r（d）随着d的增加而减小。当d趋于无穷大的时候，r（d）趋于零；当d趋于零的时候，r（d）趋于直角。如果r（d）等于直角，那就是欧几里得的平行公理。在不用平行公理的部分，罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何是一样的；在应用平行公理的地方，这两种几何就不同了。比如说，在罗巴切夫斯基几何里，三角形内角之和小于两直角，而且随着面积的增大而减小。当面积趋于零的时候，三角形内角之和趋于两直角。可见，在小范围的情况下，罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何相当近似。
非欧几何的建立在数学发展史上具有划时代的意义。罗巴切夫斯基用一条在直观上完全不能接受的罗巴切夫斯基平行公理来代替直观上能够接受的欧几里得平行公理，标志着人类对空间形式的认识发生了飞跃：由直观的空间上升到抽象的空间，从而从根本上动摇了认为几何公理能够凭它直观的自明性而成立的传统观念。它迫使人们重新考虑对数学性质的理解，以及数学和物质世界关系的理解，各种非欧几何纷纷出现。随着科学的发展，非欧几何日益显示出无比强大的生命力，其中最为重要的是黎曼几何，它为后来的广义相对论的建立提供坚实的数学基础。
可惜的是，虽然高斯本人早在54年前已经看到非欧几何的轮廓，他对非欧几何的见解却只能在他个人的注记和私人通信中找到，从来没有公开发表。用高斯自己的话说，他担心公开发表会招来“维奥蒂亚人的叫嚷”。这里他借喻希腊的一个具有独特的军事、政治的部落来影射反对非欧几何的人。的确，在康德的教条占据着统治地位的当时，要公开宣布或支持有关非欧几何的革命性思想，是需要勇气的。
匈牙利的亚诺什·鲍耶几乎和罗巴切夫斯基同时地在非欧几何研究中取得类似的结果，可惜他过于计较优先权的归属，以致半途而废。亚诺什·鲍耶的父亲法尔卡什·鲍耶是高斯在格丁根大学的同学和好朋友。1832年1月，法尔卡什把儿子的一篇有关非欧几何的论文送寄高斯审阅，论文的题目是《绝对空间的科学》。两个月以后，高斯寄来回信，充分肯定亚诺什的成果，并且热烈赞扬他的创造精神。不过，高斯不无遗憾地接着说，他不能过分称赞这篇论文，因为文章中的观点正是他自己多年来所持的见解。亚诺什看到高斯把他提高到大数学家的地位，却剥夺他发明的优先权，顿时感到心灰意冷。等到他看到罗巴切夫斯基在1840年出版的《平行线理论的几何研究》就发怒了，他发誓以后永远不发表任何数学论文。亚诺什以为罗巴切夫斯基对他的《绝对空间的科学》作了厚颜无耻的剽窃。虽然后来他了解到罗巴切夫斯基的工作，误会得到消除，可是他仍固执地不愿改变自己意气用事的誓言，再也没有对数学作出贡献。
1846年，罗巴切夫斯基在喀山大学执教已经超过30年。按照大学委员会的条例，他应该离开教授的工作岗位。罗巴切夫斯基向教育部提出免去他主持数学教研室的教授职务，由他的学生波波夫来接任。不料教育部借此为由，不仅免去罗巴切夫斯基教授职务，还免去他包括校长在内的在喀山大学的一切职务，让他去担任喀山督学帮办。这对于几乎把自己毕生心血倾注给喀山大学的罗巴切夫斯基，不啻是晴天霹雳。教育部的决定遭到喀山大学师生的强烈抗议，然而沙皇当局对群众的呼声置若罔闻，拒不解释理由。
沙皇亚历山大一世（1777-1825）取得对拿破仑战争胜利以后，对内更进一步强化反动统治。教育部和宗教事务部合并。罗巴切夫斯基虽然由于工作出色不断得到晋升，但是主管当局一直对他放心不下，认为他“在很大程度上表现出无神论的特征”，是一个潜在的危险人物。
在挪威首都奥斯陆的皇家公园里，耸立着一座引人注目的雕像。一位赤身裸体的大力士，脚下踩着两个怪物。那两个怪物是什么？众说不一。有的说，它们是贫困和死亡；有的说，它们代表数学两个最重要的问题：椭圆函数论和用根式解代数方程。 不过，谁都知道，这位力大无比的力士不是别人，他是挪威人民的伟大儿子——尼尔斯·亨利克·阿贝尔。
安娜不愿孩子们在贫困中失去欢笑。虽然难得温饱，她有时候还要打扮她那些营养不良却依然美丽非凡的小天使。她的这种行为，好像是“穷开心”。其实，安娜并不是所谓“知足者常乐”这种说教的信徒。相反，她似乎有一种很难满足的心愿，以致对日常的缺吃少穿反而不大在乎。母亲的这种秉性，感染了她的孩子们。尽管受冻挨饿，阿贝尔家看来并不那么沮丧。
可是，新学年开始后，他们感到上课念书不那么有趣了。大量重复单调的作业，干巴巴的教条满堂灌，使孩子们大倒胃口。原来一些水平较高的教师应聘到一所新办的大学去了，剩下的和新来的教师怕成绩下降，便想“以多取胜”，大搞填鸭式教学，连天资过人的尼尔斯都难以接受。生来羸弱的哥哥在高压下被弄得神经衰弱，不得不退学回家，竟至以后再也无法学习和工作。这使尼尔斯十分难过。而那个教数学的教师，经常挖苦取笑学生，有时候甚至喝得醉醉醉的，大发酒疯，更使尼尔斯胆战心惊。
许多人常常责备高斯，说他过于傲慢，看不起别人特别是年轻人的成果。对于这件事，我们可以设想一下，如果今天有一个年轻人，写信给一位权威的数学家，声称自己解决了历史上著名的方圆问题——用圆规和直尺作出了和圆面积相等的正方形，结果会怎样呢？这位数学家可能会客气地给他回一封信，也可能什么也不写。但是有一点可以肯定，他会把寄来的论文看也不看就扔进废纸篓里。因为方圆问题的不可能性早在1882年已经由林德曼a给予证明。高斯可能也是这样。他看到一个默默无闻的挪威青年居然想用6页纸来对代数上著名的大难题下判决，岂不是太狂妄了吗？
有人说高斯保守，这有几分道理。和方圆问题不同，五次以上方程的代数解的不可能性在阿贝尔以前是还没有证明的。正是这个腼腆的挪威青年提供了一个天才的证明。是的，这个证明还说不上完美无缺。它有许多不必要的复杂论证，不够简明扼要，而且篇幅被大大压缩，以致读起来非常吃力。但是，要是高斯能耐着性子把它看上一遍，结果将会怎样[8]呢？他只要说一句话，阿贝尔就成名了。阿贝尔就可以不背着沉重的贫困的包袱而在生命的中途不幸倒下。我们的故事也就大不相同了！
阿贝尔用蹩脚的法语连比带划地解释了半个多小时。虽然根据克列尔的数学水平，他只听得懂阿贝尔讲话的十分之一，但是，有一点他是清楚了。可靠的直觉告诉他：阿贝尔是第一流的数学家。在会晤结束以前，他已经打定主意，阿贝尔必须是拟议中的《克列尔杂志》的第一批撰稿人之一。
伽罗瓦心思集中到数学研究上，学校里的功课荒废了，连数学考试成绩也很平常。他忽视了维尼尔老师的意见，没有按部就班学好基础课程，这对他投考巴黎综合工科学校非常不利。他很想进入这所名闻全欧洲的学府，和教授们共同研讨那些艰深的数学课题。但是他没有认真准备就去应试，结果在综合工科学校严格的考试面前失败了。
里夏尔不搞教书匠呆板的一套。他讲课生动活泼，优美雅致，引人入胜。他在课余参加著名的索邦高等几何讲座。这不是分心旁骛，而是为了使他自己既能和当代数学家们一道前进，也能在更高的水平上指导学生。他认真研究数学教育的规律，既注意培养学生热爱科学的精神，把握住研究的大方向，又善于用具体问题锻炼学生，提高他们的研究能力。
“过分追求简洁是这桩憾事发生的原因。当论述纯粹代数抽象而难懂的问题时，我们首先要避免这种缺点。确实，当我们试图带领读者从刚开辟的小路向更广阔的领域前进时，清晰是最必需的。正如笛卡儿所说：‘异常抽象的问题，必须讨论得异常清楚。’伽罗瓦总是忽视了这句格言。……
他开始改变讲课的方式。上课的时候，他坐在靠近黑板的教室一侧，这样既可以看到黑板，又可以看到全班学生。他向班代表口授内容，再由班代表把它写在黑板上。要是这个代表突然心血来潮，想把外尔斯特拉斯讲的内容稍稍“发挥”一下，这种企图常常会得到坚决的制止。他走上讲台把画蛇添足的部分擦掉。这时候班代表和老师之间可能会展开一番有趣的辩论。不过，用不了几个回合，全班学生就清楚了解到，他们的代表是怎样把事情弄巧成拙的。整个教学过程生动活泼，气氛十分活跃。
几何直观不可靠，什么才是可靠的？可靠的只有数。数学家克罗内克[27]把这种观点表述得最为形象： “上帝创造了整数，其他一切都是人造的。” 因此，只有把分析建立在整数的基础上才是可靠和合理的。这就是数学史上著名的“分析算术化”运动的起源，而外尔斯特拉斯是这个运动的开路先锋。
外尔斯特拉斯的名声越过德意志边界传到欧洲，传到美国。听课人数的增加已经失去控制，过道上挤满了座位，有的就干脆站着听。外尔斯特拉斯有时感到遗憾，听众的素质远远落后于人数的膨胀。不过，用不着担心，在他的周围总有一批极有才干的青年数学家，他们衷心地敬爱他并且积极宣传他的思想。这一点尤为重要。因为外尔斯特拉斯在发表自己论文方面总是慢条斯理，反复推敲，从来不为优先权操心。要是没有得意门生及时地把他的思想大力向全世界传播，他对19世纪数学思想的影响恐怕就要大大削弱了。
所以一到写作课，他的精神就紧张起来。他每写一句都要反复琢磨，精心推敲，常常写了划掉，划掉了再写。等到别的同学都已经交卷，小黎曼还在抱着头，冥思苦想。谁见到这种情景，都不由得要为小黎曼捏一把汗。其实，这种担心是多余的。小黎曼写作的速度虽然慢得使人难受，但是质量却是高超的。黎曼的文章，思路开阔，行文简洁，遣词造句，惜墨如金。粗看起来，他的文字平淡无奇，可是愈看愈耐人寻味。经过这段时间的刻苦磨炼，黎曼的写作技巧得到极大的提高。他后来的两篇伟大杰作，从内容到形式都达到炉火纯青的地步。其中的一篇，甚至连苛求的高斯也不得不承认，它晶莹剔透，完美无缺。 这时候，
在罗尼堡，吸引黎曼的大数学家不只是勒让德一个人。实际上，他是通过欧拉的著作来熟悉微积分和其他分支的。这有点使人奇怪，因为从欧拉入手来学习分析，在当时已经显得过时。后来的高斯、柯西和阿贝尔等人把分析大大向前推进。但是，这样的起步并不影响黎曼成为一位严格的分析学家。他的研究工作主要是受深刻的哲学思想的指引而不是追求形式的优美或玩弄公式游戏。不过，他的确从欧拉那里学到不少技巧。在这方面，欧拉无疑是举世无双的大师。
呈现在黎曼面前的物理世界是一个无比和谐而又紧密联系的整体。许多现象根本无法用机械唯物论的哲学来解释，而牛顿绝对的时空观也显得过于笨拙。他深切感到在研究工作中必须有正确的哲学思想作为指导。他开始热心地参加各种哲学讲座，来了解先辈们对于宇宙的见解。黎曼后来在谈到自己的哲学心得时这样说： “可以建立一套完全的严密的数学理论，它由单个质点的基本定律出发，发展到我们所知道的现实空间所发生的过程，这里没有引力、电力、磁力和热力的区别。”
历史上有不少大数学家写过有关物理科学的论文，可惜他们的理论常常同科学家实际观察到的宇宙相去很远。黎曼比他们高明得多。他有一种敏锐的直觉，知道在物理上什么才是重要的。这种能力是从他大量的实验室工作和他同物理学家的频繁接触中获得的。作为伟大的数学物理学家，黎曼和牛顿、高斯、爱因斯坦跻身于同一行列，他们都从直觉上知道数学的科学用途。黎曼深刻的物理思想对今天的物理学家来说是完全合情合理的；可是在当时它显得过于大胆而且玄妙，以致除了像高斯这样有远见的大师，一般人都不能充分了解它的含义。直到爱因斯坦时代，才实现黎曼把宏观的物理世界几何化的梦想。
黎曼面临严峻的挑战。两项极端困难的研究同时进行。一面要完成演讲的论文，一面正进行着电、磁、光和引力之间联系的紧张研究，并且作为韦伯的助手，要做大量的实验。可是，在生活上他仍旧一贫如洗。当年的高斯在运气好的时候还能喝上一两杯加糖的咖啡；那么对黎曼来说，白开水就是他唯一的饮料。科学的历史告诉我们，人类思想的许多伟大成果正是从白开水加面包中酿制出来的。这大概有一个好处：节省时间。黎曼把自己关在房间里，好几个星期不露面。在他的书桌上，除了书籍和草稿，就是一杯白开水和几片干面包。为了怕受凉，他买不起帽子，就用一块旧布把头裹起来。天黑下来，点上一支蜡烛；实在困乏了，就靠在椅子上打一个盹儿；饿啦，就着白开水塞进两片面包。在这里，没有白天和黑夜的区别，工作连续进行。
工作上过度的劳累和营养严重不良大大损害了黎曼的健康。不过，丰富的食物固然诱人，真诚的亲情更是无价之宝。眼看着黎曼一天天消瘦下去，姐妹们焦急万分。虽然他们自己常常饿得头昏眼花，姐妹们饿着肚子给黎曼买来鸡蛋和牛奶。这当然不能长期瞒着黎曼而不被发觉。他只好用“绝食”来制止姐妹们的自我牺牲。家里的生活虽然贫困，大家却毫不忧伤。姐姐伊达充满感情的朗诵和妹妹海伦夜莺般的歌声使全家洋溢着和谐欢悦的气氛。姐妹们的无私关怀和热情鼓励给黎曼增添了巨大的力量和信心。
高斯的意见最具代表性：“我反对把一个无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话方式。当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意近地趋近它，而另一些则容许没有界限地增加。”庞加莱也提出警告：“我个人，而且不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限文字去完全定义好的东西。”总之，由于理解不了，最好尽量避开它。他们不讨论无限长的直线，只讨论可以无限延长的直线；他们不谈所有的素数，只谈有限多个素数之外还有素数。但是，“无穷”明明白白地摆在那里：全体自然数、实数系、直线上的一切点等等，更不用说分析的基本对象——连续函数离不开无穷，别的不说，自变量的取值范围定义域就是实实在在的无穷。因此，当面对分析中建立严密性问题时，“无穷”成了一个绕不过去的“坎”。 苍穹传来的召唤 就在人们翘首以盼的时候，一位驾驭无穷的旷世奇才——乔治·斐迪南·路德维希·菲利普·康托尔降生了！
父亲知道康托尔对数学十分着迷，天赋也很高，但他希望儿子立志做一个工学博士。在魏特曼看来，从事数学研究，就意味着把自己钻在抽象而枯燥的问题堆里，耗尽一生精力和乐趣，还要面对无休止的论争，备受敌视并使自己处于贫困之中。康托尔一向对父亲极为敬重，他知道这些意见都很中肯。他真诚地愿意按父亲的意愿去做。为更好锻炼康托尔的意志和能力，父亲说服母亲把儿子转到荷兰阿姆斯特丹的一所六年制的寄宿中学。这样他就不需每星期回家，可以更专心致志地学习。
受导师的影响，他当时的兴趣主要在数论。1866年12月，康托尔第三篇论文《按照实际数学方法，决定极大类或相对解》发表，并因此获得博士学位。在治学过程中，康托尔领悟到，提问的艺术往往比解题的方法更重要。因此他特别注意看问题的视角。这个角度看不清，换一个角度或许就能看清。所以他习惯以一般人想象不到的方式来提出问题。这种大胆的“离经叛道”的非传统思想，对后来集合论的创立有重要意义。
不可思议的是，康托尔通过仔细的排列，居然在自然数集与有理数集的元素间建立起一一对应！因此有理数集也是可数集。在直觉上，有理数显然比自然数要多得多。试想在1与2之间，就有无限多个有理数。于是，一个惊人的事实摆在面前：一个集合的一部分（子集）可以与整个集合等势，也就是有同样的基数。部分等于全体！这在有限集是荒谬的、不可想象的，但在无穷集却很正常。康托尔说，这并不奇怪，因为无穷集与有限集有本质的不同。
事情并没有到此为止。康托尔利用对角线法发现，实数集不可数。这就是说，实数集比自然数集、有理数集和代数数集的无穷更大。实数由有理数和无理数组成；既然有理数可数，那么无理数就不可数。无理数是由代数数和超越数组成；既然代数数可数，那么超越数就不可数。贝尔有一个形象的譬喻：“代数数点缀在平面上，就像星星在漆黑的夜空；稠密的黑色就是超越数的天空。”要知道1847年刘维尔花了九牛二虎之力才用构造的方法证明超越数的存在，现在，康托尔在这里没有提供哪怕是一个超越数的构造方法，却要说超越数不仅存在，而且数量比代数数无限地多得多！所以，在克罗内克他们看来，这实在是荒谬绝伦，不但不能接受而且不能容忍！
文章中他定义了一种特别重要的集合，叫集合S的幂集；它是S的一切子集的集合（在S的子集中包括S本身和空集）。他证明了S的幂集是比S更大的无穷。而由S的幂集又可以造出比它更大的无穷：S的幂集的幂集。这个过程可以一直进行下去。由此可知，没有最大，只有更大。没有包含一切集合的集合。
我国明清时期的大思想家黄宗羲有句名言：“大丈夫行事，论是非，不论利害；论顺逆，不论成败；论万世，不论一生。”要认识有限，必须了解无限。康托尔顺应数学发展的潮流，冲破重重阻力，“冒天下之大不韪”，向无穷挑战。虽历经坎坷，备受折磨，生活数度陷于困境，仍毫不动摇，最终取得成功。从此数学家在无穷面前无须躲躲闪闪、畏缩不前；数学的严密性大大向前推进，呈现出崭新的面貌。依此看来，康托尔不仅是位大数学家，还称得上是铁骨铮铮的大丈夫。他的工作和名字将万世永存。
月球、地球和太阳就是典型的三体问题。在数学上它是含有9个方程的微分方程组，在一般条件下，无法求其精确解。庞加莱决定绕开“精确解”的死结，另辟蹊径。他的基本思想是：虽然在许多情况下，不能求出精确解，但我们所关注的解的某些性质、解的本质特征，可以通过定性的或不太精确的方法来把握。庞加莱把基于上述思想，通过考察微分方程自身，来确定未知解的性态的方法，称为定性理论。初等数学中，实数系数一元二次方程的根的判别式就有点定性理论的味道。庞加莱把微分方程的解视为某种“相空间”的积分曲线，这就便于用几何方法从整体上来把握天体轨道的性态。
他那超凡的直觉似乎在告诉他，某种对和平的威胁正在逼近，因此他语重心长地提醒大家：“如果我们偶尔享受到宁静，那是我们先辈顽强地进行了斗争。假使我们的精神、我们的警惕松懈片刻，我们就将失去先辈为我们赢得的成果。”两年后，萨拉热窝的枪声应验了他的担忧，第一次世界大战爆发了。
数学在每一个发展时期都有自己特定的问题。在世纪之交，希尔伯特站在数学研究的最前沿，提出了23个问题来预示20世纪数学发展的进程。这些问题立刻吸引整个数学界的想象力。
和克莱茵不同，希尔伯特的课和他的为人一样，可以用“毫不修饰”来形容。他讲得很慢，经常重复，生怕有人听不懂，有点像预科学校上课的风格。但是他的课“简明，自然，逻辑严谨”。和闵可夫斯基一样，他在讲课时会有“即兴发挥”，突然展开他自己对某个事实的想法或表现出忽然有所发现的冲动，虽然不像克莱茵那样尽善尽美，在细节上常常出错，却不时地会迸发出创造性的思想火花，所以更受学生的青睐。
教授会中的哲学家、语言学家和历史学家极力反对妇女成为讲师。他们的理由是：如果让一个女人当了讲师，她以后就会成为教授，成为大学评议会的成员。当我们的士兵从战场上回到大学，发现他们将在一个女人的脚下学习，他们会怎么想呢？希尔伯特感到很气愤，他奋起反击：“先生们，我不认为候选人的性别是不能让她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是澡堂。”
在人们积累物质财富的种种努力背后，总是隐藏着一种幻觉，以为那是最具体、最值得追求的目标。幸好这里还有少数人，他们在年轻时候就认清了人类所能经历到的最美的最使人感到满足的事，并非来自外部世界，而是和个人的感情、思维和行为息息相关，……这些个人的生活并不被他人所注目，然而她奋斗得来的果实却是一代人所能给予子孙后代最有价值的财富。”
后来有人问维格纳：为什么匈牙利在他这一代出了那么多的天才？维格纳思索了一会儿，说：“不，只诞生了一个天才，那是冯·诺伊曼。”
德国科学家海森伯（1901-1976）十二三岁自学微积分，稍后参加青年运动，集体徒步旅行，培养意志，锻炼体魄。上大学时，正赶上第一次世界大战爆发。他准备攻读数学。父亲让他找林德曼（1852-1939）教授谈谈。老人一听他在读外尔的《空间-时间-物质》，不由分说，就给他下了结论：“那你学数学就根本不行了。”教授名气很大，证明过r是超越数。
8月26日，他向卡纳普教授等人报告他的惊人结果，大家听了都惊讶不已。经过一番推敲，找不出任何差错。今天他将自己的研究成果，也就是
经过一番推敲，找不出任何差错。今天他将自己的研究成果，也就是两个不完备性定理，正式公布： 第一，如果公理系统是相容的，那么它是不完全的；在该系统中存在既不能证明也不能证伪的定理。 第二，不存在能证明公理系统是相容的构造性过程，也就是说，数学家永远不可能确定，他们选择的公理系统不会出现矛盾。 看来事物的不完备和有缺陷是永恒的，是常态。对于经过提纯、高度抽象化的算术尚且如此，更何况自然界和人类社会？十全十美、完美无缺只不过是人们想象中的空中楼阁。
至20世纪末，人们认为，普林斯顿纯粹数学的最大成果要数哥德尔（1906-1978）等人的数理逻辑。冯·诺伊曼等人则以应用数学、信息科学和反法西斯战争中的杰出工作，为人类进步作出巨大贡献。
因为头儿们一开始以为，这只是物理学家和化学家而不是数学家的项目，而且陆军和海军都把冯·诺伊曼当做国宝紧紧抓在手里不放。但实际上，对原子弹结构的设计和关键数据的计算，需要几十亿次计算。裂变材料要达到一定的量才会发生链式反应，所以计算出这个称为“临界质量”的大小意义重大；而为了估计爆炸的威力，需要写出爆炸的状态方程，用苏联“氢弹之父”萨哈罗夫的话来形容，其复杂程度犹如“一场恶梦”；另外，对于不同的引爆方式、引爆的高度等也需要作大量的计算。所以奥本海默急着要把冯·诺伊曼召来，并给了他一个外人完全摸不着头脑的头衔：“洛斯阿拉莫斯美国工程师协会曼哈顿分部顾问”。
1942年12月2日，芝加哥先传捷报。下午3时45分，联络员电告上级：“意大利航海家已登上新大陆。” 上级问：“当地居民反映如何？” 联络员答：“非常友好。” 这表明，一年的工夫，人类已掌握原子能了。
但是，原子反应堆还不是原子弹。适宜做原子弹的核燃料是铀235及94号元素钚239。用它们做原子弹各有优缺点。铀235提取困难，但引爆方便。铀矿石中的铀235含量极少，要得到铀235，需用离心机等复杂技术一个一个地分离，费时费力。这也是为什么第一枚原子弹在广岛爆炸后，日本并没有马上投降。因为日本科学家告诉军队，第二枚这样的原子弹要经过很长时间才制造得出来。因此为打破日本人幻想，短时间内能不能再造出一枚至关重要。
实际上，美国著名核化学家G.T.西博格（1912-1999）领导芝加哥大学冶金实验室，于1941-1942年间在轰击加速器中铀靶时，从几百千克铀中分离制备了二十几微克纯金属钚（此项化学流程分离系数达到100亿分之一），对其核性质进行研究，证实钚239极易进行核裂变，从而为核武器的研制拓宽了道路。
一枚铀弹，一枚钚弹。后者有外包炸药，体积较大，俗称“胖子”，前者小些，称为“小男孩”。 《博弈论与经济行为》 正当曼哈顿计划在如火如荼地进行的时候，1944年冯·诺伊曼和摩根施特恩合著的《博弈论与经济行为》出版。
冯·诺伊曼自己是清醒的。他多次强调，不能指望现成的数学思想可以刻画任何未曾涉足的领域；犹如微积分无法说明整个量子力学体系。博弈论建立80多年来，数理经济学尤其是金融数学有了很大发展，但是对于已有的数学思想方法，经济现象还是太复杂了。关键在于，博弈论通常设定对局人是理性的，而实际生活中，聪明人也会“利令智昏”，做出非理性之举。
他对用大脑作未来计算机的模型很感兴趣；为此耶鲁大学邀请他在西利曼讲座上就计算机和大脑作一个报告。琼尼很想用这个报告作为对科学的告别辞；然而翌年3月，病情使一切希望都破灭了。他到任何地方去旅行的计划再也没有人提起。他强忍病痛在病床上写作西利曼讲座的讲稿，在去世后以《计算机与人脑》为题出版。
华罗庚在人生道路上又面临一次选择：一是留校升讲师；一是出国留学。他没有犹豫。他十分清楚，最终使他的命运摆脱困境的那篇发表在《科学》上关于代数五次方程的“华文”，在国外早在100年前就已有定论。因此，这篇文章对于他个人固然是件好事，但也反映了当时中国数学的落后状况。他不能因为自己的生活已有很大改善而心安理得地放慢前进的步伐。他要竭尽全力去攀登世界高峰，不辜负一直关心照顾和栽培自己的师长们的殷切期望，力争在数学上作出更大成绩，为国争光，使中国有朝一日也能跻身世界数学大国乃至数学强国的行列。
华罗庚多次提到，有一次韦伊[52]在听了华罗庚的演讲后评论道：“华玩弄矩阵就像玩弄整数一样。”华罗庚认为韦伊不愧为他的知音，这一评论说到了点子上。
“人们可能会设想，如果他留在西方，他将可能完成更多的个人研究计划。然而如果这样做，他就不可能如他最后30年所做的，在中国发展数学及其应用中起到中心作用。”华罗庚很重视普及数学，使他在中国广大青少年和工人中也享有盛誉。因此，“比起历史上任何一位数学家来，受他直接影响的人可能更多”。
嘉当的理论博大精深、曲折无穷。陈省身经过10个月悉心研究和老师的亲自点拨，终于学到了让他终身受用不尽的“秘门绝技”——嘉当的数学语言和思考方式，为以后的发展打下良好的基础。
他清醒地意识到，自己“已不是学生。对于传统的微分几何，我的了解和我所掌握的工具，自信不在人下。我要搞整体微分几何，便需要拓扑、李群、代数几何和分析等”。可是在昆明，远离数学主流、信息闭塞的缺陷日益凸现。他有一种预感，只要有某种契机，他一定会作出令人刮目的成绩。经过反复考虑，他作出了一生有决定意义的大决定：到普林斯顿去！理由很简单，因为那里有他崇拜的外尔。几十年后，他这样谈到自己的治学心得：做学问就要知道方向。有一点我是终身受益的，那就是我不怕去找这方面最好的人，也就是领袖人物。他认为，一定是要找最好的，不要满足于找次一点的。找次一点的，也可以发展，但差得很多！